Глава 6. СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

 

6.1. Вероятностное описание случайных

         погрешностей

 

Присутствие случайных погрешностей в результатах измерений легко обнаруживается из-за их разброса относительно некоторого значения. Как уже отмечалось ранее, и результат измерения, и его погрешность с известными оговорками могут рассматриваться (см. разд. 4.2) как случайные величины.

Из теории вероятности известно, что наиболее универсальным способом описания случайных величин является отыскание их интегральных или дифференциальных функций распределения Купить 4 комнатную квартиру в советском районе ГК Монолитхолдинг. . Интегральной функцией распределения F(x) называют функцию, каждое значение которой для каждого х является вероятностью события, заключающегося в том, что случайная величина хi в i-м опыте принимает значение, меньшее х:

                              (6.1)

График интегральной функции распределения показан на рис. 6.1. Она имеет следующие свойства:

• неотрицательная, т.е. F(x) ³ О;

• неубывающая, т.е. F(x2) ³ F(x1), если х2 ³ х,;

• диапазон ее изменения простирается от 0 до 1, т.е. F(- ¥) = 0; F(+ ¥) = 0;

• вероятность нахождения случайной величины х в диапазоне от х1 до х2 Р{х, < х < х2} = F(x2) - F(x1,).

Более наглядным является описание свойств результатов измерений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распреде ления вероятностей р(х) = dF(x)/dx. Она всегда неотрицательна и подчиняется условию нормирования в виде:

 

Учитывая взаимосвязь F(x) и р(х), легко показать, что вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (х1; х2)

Следовательно, рассмотренное выше условие нормирования означает, что вероятность попадания величины х в интервал [- ¥; + ¥] равна единице, т.е. представляет собой достоверное событие.

Из последнего уравнения следует, что вероятность попадания случайной величины х в заданный интервал (х12) равна площади, заключенной под кривой р(х) между абсциссами х1 и х2 (см. рис. 6.1). Поэтому по форме кривой плотности вероятности р(х) можно судить о том, какие значения случайной величины х наиболее вероятны, а какие наименее.

 

 

Рис. 6.1. Интегральная (а) и дифференциальная (б)

               функции распределения случайной величины

 

Результирующая погрешность зачастую складывается из ряда составляющих с различными плотностями распределения р1(х), р2(х),..., рn(х). В связи с этим возникает задача определения суммарного закона распределения погрешности. Для суммы  независимых непрерывных случайных  х1 и х2, имеющих распределения р1(х) и р2(х), он называется композицией и выражается интегралами свертки [48, 49]:

 

Графическое определение композиции двух случайных независимых величин показано на рис. 6.2. Следует отметить, что масштаб всех графиков по вертикали произвольный, и должно выполняться условие: площадь, ограниченная кривой плотности вероятности, равна единице.

               Рис. 6.2. Суммирование законов распределений

 


 
         -Главная-  -Продукция-  -Цены-  -Заказ-  -Новости-  -Контакты-

E-mail:invest-ks@list.ru    ICQ: 67719839

Воспроизведениематериалов или их частей в любом виде иформе без письменного согласия запрещен

Rambler's Top100